Resum de la unitat didàctica Les fraccions

En aquesta entrada tenim resumits en 10 punts els aspectes més importants de la nostra unitat didàctica Les fraccions:

math notebooking fractions by Jimmie CC BY 2.0

1. Les fraccions o nombres racionals (ℚ) són nombres expressats en forma de divisió i les utilitzem constantement a la nostra vida: un quart de quilo, mig llitre de llet, un terç de pizza...

2. El numerador de la fracció representa les parts que prenem i el denominador representa les parts en què dividim un element.

3. Per comparar fraccions es pot resoldre la divisió que representen, encara que de vegades no cal fer-ho. Si els numeradors són iguals, serà major la fracció amb menor denominador. Si els denominadors són iguals, serà major la que tinga major numerador.

4. Quan fem la divisió, s'obté un nombre enter, un nombre amb decimals i residu zero o un nombre amb decimals periòdics.És possible obtindre una fracció partint d'un nombre escrivint com a numerador el mateix nombre sense la coma dels decimals (si en té) i posant com a denominador la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tinga el nombre.

5. Dos fraccions són equivalents si després de resoldre-les s'obté el mateix resultat. Per a obtindre fraccions equivalents d'una fracció original, només cal multiplicar o dividir el numerador i el denominador per una mateixa xifra.

6. El producte creuat de fraccions serveix per a comprovar l'equivalència de dues fraccions. Consisteix en multiplicar el numerador de la primera fracció pel denominador de la segona i el numerador de la segona pel denominador de la primera. Aquestes fraccions seran equivalents si s'obté el mateix resultat.

7. La simplificació de fraccions es realitza dividint numerador i denominador per una mateixa xifra que siga divisor comú. Per a fer-ho s'utilitza el màxim comú divisor. Una fracció irreductible és una fracció que no pot simplificar-se més.

8. Per fer sumes i diferències de fraccions, els denominadors han de ser iguals. Per trobar un comú denominador s'utilitza el mínim comú múltiple.

9. Per multiplicar fraccions, es multiplica numerador per numerador i es multiplica denominador per denominador. Per fer la divisió es fa el producte creuat o es multiplica la primera fracció per la inversa de la segona, la qual es construeix canviant de posició el numerador i el denominador.

 

10. Les operacions combinades es resolen respectant les següents regles: abans de tot, cal analitzar com està escrita; a continuació s'han de resoldre els parèntesis, recordant que els productes i les divisions tenen prioritat davant les sumes i les restes. És molt important tornar a escriure tot allò que no s'ha resolt encara.

Exercici d'avaluació

A continuació es presenten diferents exercicis i problemes plantejats com a un exercici global d'evaluació per a la nostra unitat didàctica Les fraccions.

Enunciats

1. Digues si le fraccions que a continuació es mostren són equivalents: (1 punt)

a) 2/3 ; 1/5 (0,25 punts)
b) 6/18 ; 2/6 (0,25 punts)
c) 5/25 ; 1/5 (0,25 punts)
d) 4/9 ; 12/36 (0,25 punts)

2. Resol les següents sumes i diferències de fraccions i simplifica fins la fracció irreductible en els casos que siga possible: (1 punt)

a) 1/2 + 6/5 (0,25 punts)
b) 2/10 + 14/2 +1/5 (0,25 punts)
c) 3/8 - 1/3 (0,25 punts)
d) 5 + 3/7 -2/7 (0,25 punts)

3. Resol els següents productes i divisions de fraccions i simplifica fins la fracció irreductible en els casos que siga possible: (1 punt)

a) 3/6 * 2/4 (0,25 punts)
b) 12/3 * 2/11 (0,25 punts)
c) 5/2 : 25 /5 (0,25 punts)
d) 9/6 : 3/7 (0,25 punts)

4. Resol les següents operacions combinades de fraccions i tracta de trobar la fracció irreductible si és possible: (1 punt)

a) 1/2 + (3/6 * 2/4) - 3/12 (0,50 punts)
b) (1/2 + 3/6) : (2 /4 - 3/12) (0,50 punts)

5. Un camió recorre 1/2 d'una carretera i en el mateix temps, un cotxe recorre 3/5 de la mateixa carretera. Contesta: (1,25 punts)

a) Qui dels dos va més lent? (1,25 punts)


6. Si un gos pot menjar-se un os sencer en 3/4 d'hora, contesta: (1,25 punts)

a) En quants minuts es pot haver menjat els 8/10 de l'os? (1,25 punts)

7. El Marqués de Benalúa va donar uns diners per a repartir entre els seus fills. El major va rebre 2/4 del total, la filla en va rebre 1/3 i el més xicotet en va rebre la resta. Llavors, contesta: (1,50 punts)

a) Qui va rebre més diners? (0,75 punts)
b) Qui en va rebre menys? (0,75 punts)

8. Quan portàvem vists 2/5 d'una pel·lícula de dues hores i mitja, va haver-hi una apagada d'un quart d'hora. Després vam veure 2/6 més de la pel·lícula fins que vam anar-nos al llit. Contesta: (2 punts)

a) Si sabem que una hora són 60 minuts, quants minuts restaven fins el final de la pel·lícula? (2 punts)

Solucions

1. Digues si le fraccions que a continuació es mostren són equivalents: (1 punt)

a) No (0,25 punts)
b) Sí (0,25 punts)
c) Sí (0,25 punts)
d) No (0,25 punts)

2. Resol les següents sumes i diferències de fraccions i simplifica fins la fracció irreductible en els casos que siga possible: (1 punt)

a) 17/10 (0,25 punts) 
b) 74/10 (0,25 punts)
c) 1/24 (0,25 punts)
d) 36/7 (0,25 punts)

3. Resol els següents productes i divisions de fraccions i simplifica fins la fracció irreductible en els casos que siga possible: (1 punt)

a) 1/4 (0,25 punts)
b) 24/33 (0,25 punts)
c) 1/2 (0,25 punts)
d) 7/2 (0,25 punts)

4. Resol les següents operacions combinades de fraccions i tracta de trobar la fracció irreductible si és possible: (1 punt)

a) 16/24 (0,50 punts)
b) 4 (0,50 punts)

5. (1,25 punts)

a) El camió va més lent. (1,25 punts)


6. (1,25 punts)

a) En 36 minuts. (1,25 punts)


7. (1,50 punts)

a) El germà major en va rebre més: 6/12. (0,75 punts)
b) El més xicotet en va rebre menys: 2/12. (0,75 punts)


8. (2 punts)

a) 25 minuts. (2 punts)

Problemes amb les fraccions (II)

En aquesta entrada es proposen més problemes per a qui vulga practicar una mica més les operacions amb fraccions:

Enunciats

Problema 1. Una capsa que conté 450 quilograms de farina està plena fins a un cinqué de la seua capacitat total. Calcula:

a) Quina és la capacitat total de la capsa?
b) Quants quilograms haurem d'afegir-ne per arribar fins als tres cinquens de la capacitat total?

Problema 2. Eva es va menjar el mes passat mitja bossa de caramels i Jordi només un terç. Ara la bossa en té 6, de caramels. Calcula:

a) Quants caramels tenia la bossa al principi?
b) Quants caramels ha menjat cadascú?
c) Quin percentatge de caramels ha menjat cadascú?

Problema 3. Un partit de futbol té una durada de 1,5 hores. Si sabem que una hora són 60 minuts, calcula:

a) Quantes hores duren 4 partits de futbol?

Problema 4. D'una reunió de 180 persones, van marxar-se tres cinquenes parts a les set de la vesprada. Dues hores després, van entrar cinc dotzens dels que quedaven. Calcula:
a) Quantes persones hi havia a les set i mitja?
b) Quantes persones hi havia a les nou i quart?

Problema 5. La distància entre dos pobles és de 42 quilòmetres. A 2/6 de la distància des del primer poble han construït un hospital. Aleshores, pots dir:

a) A quants quilòmetres del primer poble es troba l'hospital?
b) A quants quilòmetres de l'altre poble es troba l'hospital?

Problema 6. Un nadador fa unes braces de 3/4 de metre. Si la piscina té 75 metres de llargària, pots calcular:

a) Quantes braces haurà de fer el nadador per arribar d'un extrem a l'altre de la piscina?
b) Quantes vegades haurà recorregut la piscina d'un extrem a un altre si ha fet 450 braces?

Problema 7. La cafeteria d'en Josep serveix 25 litres de llet en dos dies. Si cada tassa de llet pot contenir un quart de litre, respon:

a) Quantes tasses necessitarà Josep per servir la llet de dos dies?
b) Quantes tasses necessitarà Josep per a servir la llet de mig dia?

Solucions

Problema 1. 
a) La capacitat total és de 2.250 quilograms.
b) Haurem d'afegir-ne 900 quilograms de farina.

Problema 2.
a) Al principi la bossa tenia 36 caramels.
b) Eva va menjar-se 18 caramels i Jordi 12 caramels.
c) Eva va menjar-se el 50% dels caramels i Jordi el 33,333... dels caramels.

Problema 3.
a) Quatre partits de futbol duren 6 hores.

Problema 4.
a) A les set i mitja hi havia 144 persones.
b) A les nou i quart hi havia 204 persones.

Problema 5.
a) L'hospital es troba a 14 quilòmetres del primer poble.
a) L'hospital es troba a 28 quilòmetres del segon poble.

Problema 6.
a) El nadador haurà de fer 100 braces per arribar d'un extrem a l'altre de la piscina.
b) Si fa 450 braces, el nadador haurà recorregut la piscina quatre vegades i mitja.

Problema 7.
a) En Josep necessitarà 100 tasses en dos dies.
b) En Josep necessitarà 25 tasses en mig dia.

Problemes amb les fraccions (I)

En aquesta entrada es proposen diferents problemes mitjançant els quals es poden practicar les fraccions i les seues operacions:

Enunciats

Problema 1. Dins d'una capsa es poden posar 10 balons. Si ja n'hem ficat 1/3, respon:
a) Quants en tenim ja dins?
b) Quants balons podem ficar-ne encara expressat en fraccions?


Problema 2. D'un llibre que té 120 pàgines, n'hem llegides 50.
a) Expressa en fraccions quantes pàgines del llibre hem llegit ja.
b) Calcula la diferència per saber-ne quantes ens queden encara per llegir (en fraccions).
c) Expressa els resultats anteriors amb fraccions irreductibles.

Problema 3. Si en una bossa tenim 9 boles i sabem que quatre novens són blaves i quatre novens en són roges:

a) Calcula quantes en són verds mitjançant les operacions de fraccions.
 

Problema 4. Un avió fa un viatge que té una durada de 93 minuts. Si ja porta fet un terç del viatge:
a) Quants minuts de viatge ha fet ja?
b) Quants minuts de viatge ha de fer encara?


Problema 5. En Pere tenia 60 euros, però ja ha gastat 1/5 en llepolies i 1/4 en fruita.
a) Quants diners té encara Pere per a estalviar?

b) Si dels 60 euros que tenia haguera gastat 1/3 en llepolies i 1/2 en fruita, ara tindria més o menys diners per a estalviar?

Solucions

Problema 1.
a) Tenim 3 balons dins.
b) Encara poden ficar-se 7/10.

Problema 2.
a) 50/120
b) 70/120
c) 5/12 i 7/12

Problema 3.
a) 3 boles són de color verd.

Problema 4.
a) L'avió ha viatjat 31 minuts.
b) L'avió ha de viatjar encara 62 minuts més.

Problema 5.
a) En Pere té per a estalviar 11 euros.
b) Ara tindria menys diners per a estalviar.

Operacions amb fraccions (III). Operacions combinades

Parlem d'operacions combinades de fraccions quan apareixen sumes o restes i productes o divisions en una mateixa operació. En aquests casos, cal respectar diferents regles per a resoldre-les de forma correcta.

Aquestes regles són les següents:

• La cosa més important és analitzar com està escrita l'operació per a saber per on s'ha de començar a resoldre-la seguint un ordre adequat.

• Cal resoldre-les a poc a poc. Açò vol dir que allò que no es resol en un pas, cal tornar-lo a escriure de la mateixa manera.

• Si trobem un parèntesi, hem d'interpretar que allò que conté forma una xicoteta operació dins l'operació principal que hem de resoldre individualment abans de continuar amb la resta de l'operació completa.

• La multiplicació i la divisió tenen prioritat. Açò significa que quan una fracció està multiplicada (o dividida) per una altra i a més forma part d'una suma (o d'una resta), primer s'haurà de multiplicar (o dividir) i després se sumarà o restarà.

 
A continuació tenim dos exemples amb les mateixes fraccions però amb diferents resultats, perquè els parèntesis agrupen d'una forma distinta i, per tant, fan que l'ordre de resolució no siga igual.

Exemple 1 d'operació combinada

Exemple 2 d'operació combinada

Com hem pogut comprovar, és molt important anar amb cura amb els parèntesis perquè, segons on es troben situats, els resultats de les operacions seran diferents, encara que les fraccions i els signes d'operació (suma, diferència, producte i divisió) que hi apareguen siguen els mateixos.

Exercici 15. Resol les operacions combinades amb fraccions que es plantejen a continuació i simplifica fins trobar la fracció irreductible, quan siga possible.

• 2/5 - 3/6 x 1
• (2/5 - 3/6) x 1/3
• 4/2 : 1/5 - 1
• 4/2 : (1/5 - 1)
• 8/3 x 1/2 + 4/3

Solució:

• 2/5 - 3/6 x 1 = -11/10
• (2/5 - 3/6) x 1= -1/30
• 4/2 : 1/5 - 1 = 9
• 4/2 (1/5 - 1) = -5/2
• 8/3 x 1/2 + 4/3 = 8/3

Operacions amb fraccions (II). Fracció inversa. Producte i divisió

Fracció inversa

La inversa d'una fracció es construeix d'una manera molt senzilla: només cal canviar de posició els components de la fracció; és a dir, posarem el numerador en el lloc del denominador i el denominador en el lloc del numerador.

Com fer la inversa

Exercici 13. Troba la inversa de cadasacuna d'aquestes fraccions:

• 3/6
• 8/12
• 19/36
• 7/2
• 45/3

Solució:

• 3/6 ; 6/3
• 8/12 ; 12/8
• 19/36 ; 36/19
• 7/2 ; 2/7
• 45/3 ; 3/45

Producte de fraccions

Per a fer el producte o multiplicació de fraccions no és necessari que tinguen comú denominador; és a dir, que no cal fer cap operació prèvia com necessitàvem amb la suma i la diferència de fraccions amb denominadors diferents.

Quan es multipliquen fraccions, el resultat serà una nova fracció que tindrà com a numerador el producte dels numeradors, i com a denominador el producte dels denominadors.

Producte de fraccions

Exercici 13. Resol els següents productes de fraccions i simplifica fins que trobes la fracció irreductible, si és possible:

• 2/2 x 8/4
• 7/13 x 13/7
• 3/5 x 10/2 x 2
• 5/10 x 1/2 x 6/2
• 3/4 x 7/2 x 3/5

Solució:

• 2/2 x 8/4 = 16/8 = 2/1 = 2
• 7/13 x 13/7 =91/91 = 1
• 3/5 x 10/2 x 2 = 60/10 = 6/1 = 6
• 5/10 x 1/2 x 6/2 = 30/40 = 3/4
• 3/4 x 7/2 x 3/5 = 63/40

Si ens n'adonem, quan multipliquem una fracció per la seua inversa, el resultat que obtenim és la unitat.

El producte d'una fracció i la seua inversa és la unitat

Divisió de fraccions

Quan volem dividir fraccions, ocorre com amb el producte, i no cal passar a comú denominador. En el cas de la divisió, disposem d'aquestes dues eines alternatives de molt senzill ús:

• D'una banda, podem utilitzar el producte creuat de fraccions. Recordem que el producte creuat es realitza multiplicant el numerador de la primera fracció pel denominador de la segona, i així obtenim el numerador del resultat. El denominador del resultat serà el producte del denominador de la primera fracció i el numerador de la segona.

Divisió amb el producte creuat

 

• D'altra banda, podem multimplicar la primera fracció per la inversa de la segona.

Divisió amb la inversa

 En qualsevol cas, el resultat que obtindrem serà el mateix.

Cal saber, a més, que podem dividir totes les fraccions per qualsevol altre nombre o fracció, excepte per 0.

Exercici 14. Resol les següents divisions de fraccions i simplifica fins que trobes la fracció irreductible, si és possible:

• 1/5 : 2/6
• 9/3 : 3/9
• 5/2 : 5/2
• 4/8 : 3/7
• 6/4 : 5

Solució:

• 1/5 : 2/6 = 3/5
• 9/3 : 3/9 = 9
• 5/2 : 5/2 = 1
• 4/8 : 3/7 = 7/6
• 6/4 : 5 = 3/10

Operacions amb fraccions (I). Comú denominador. Suma i diferència

Comú denominador

La suma i la diferència de fraccions són dues operacions que exigeixen que els denominadors siguen iguals per resoldre-les, ja que no és possible sumar desens amb quarts o cinquens ni tampoc no ho és restar-los.

Allò que cal fer és passar a comú denominador, mitjançant l'eina ja apresa del mínim comú múltiple (mcm) dels denominadors per a construir fraccions equivalents amb idènntic denominador.

Una vegada hem obtingut el mínim comú múltiple dels denominadors, cal utilitzar-lo com a denominador de les fraccions equivalents, on posarem com a numerador el resultat de multiplicar el numerador original i el mínim comú multiple, que estarà dividit pel denominador original.

Exercici 8. Passa a comú denominador els següents parells de fraccions:

• 3/6, 1/12
• 5/10, 1/5
• 5/25, 25/100
• 25/12, 3/5
• 18/3, 6/5

Solució:

• 3/6, 1/12: 6/12, 1/12
• 5/10, 1/5: 5/10, 2/10
• 5/25, 25/100: 20/100, 25/100
• 25/12, 3/5: 125/60, 36/60
• 18/3, 6/5: 90/15, 18/15

Suma de fraccions

Com ja hem esmentat, és necessari que els components de la suma tinguen el mateix denominador. Si no ho són, hem de passar-los a comú denominador i obtindre fraccions equivalents que tinguen idèntic denominador (mcm) de la manera que ja s'ha explicat amb anterioritat, i posarem com a numerador el numerador original però multiplicat pel mínim comú múltiple (mcm) i dividit pel denominador original.

Posteriorment, obtindrem el resultat sumant els numeradors deixant com a denominador el mínim comú múltiple (mcm).

Suma de fraccions

Suma de fraccions, gràficament

Exercici 9. Suma les següents fraccions com s'ha explicat:

• 3/6 + 1/12
• 5/10 + 1/5
• 5/25 + 25/100
• 25/12 + 3/5
• 18/3 + 6/5

Solució:

• 3/6 + 1/12 = 6/12 + 1/12 = 7/12
• 5/10 + 1/5 = 5/10 + 2/10 = 7/10
• 5/25 +25/100 = 20/100 + 25/100 = 45/100
• 25/12 + 3/5 = 125/60 + 36/60 = 161/60
• 18/3 + 6/5 = 90/15 + 18/15 = 108/15

Diferència de fraccions

Com que la diferència (o resta) és l'operació inversa de la suma, el procés per a calcular-la és exactament el mateix que el de la suma; és a dir, les fraccions han de tindre denominador comú. En cas contrari, haurem d'obtindre'l mitjançant el mínim comú múltiple per a trobar fraccions equivalents.

El resultat tindrà com a numerador la diferència dels numeradors i com a denominador el mínim comú múltiple (mcm).

Diferència de fraccions

Diferència de fraccions, gràficament

Exercici 10. Resta les següents fraccions com s'ha explicat:

• 3/6 - 1/12
• 1/5 - 5/100
• 5/25 - 25/100
• 25/12 - 3/5
• 4/5 - 10/13

Solució:

• 3/6 - 1/12 = 6/12 - 1/12 = 5/12
• 1/5 - 5/100 = 20/100 - 5/100 = 15/10
• 5/25 - 25/100 = 20/100 - 25/100 = -5/100
• 25/12 - 3/5 = 125/60 - 36/60 = 89/60
• 4/5 - 10/13 = 52/65 + 50/65 = 2/65

Important 1

Després d'operar amb les fraccions, és convenient que simplifiquem fins que trobem la fracció irreductible del resultat, sempre que això siga possible.


Exercici 11. Resol les següents operacions amb fraccions i simplifica al màxim:

• 3/4 + 1/3 - 1/4
• 6/5 + 5/6 -1/2
• 25/3 + 3/10 - 1/30 + 2/30

 Solució:

• 3/4 + 1/3 - 1/4 = 9/12 + 4/12 - 3/12 = 10/12 = 5/6
• 6/5 + 5/6 -1/2 = 36/30 - 25/30 + 15/30 = 13/15
• 25/3 + 3/10 - 1/30 + 2/30 = 250/30 + 9/30 - 1/30 + 2/30 = 260/30 = 26/3

 

Important 2

En la pàgina Vídeos d'aquest bloc, trobareu el Vídeo 2, amb una Pechakucha sobre aquesta entrada.

Fraccions equivalents. Producte creuat. Simplificació de fraccions i fracció irreductible

 

Fraccions equivalents

Es diu que dos fraccions són equivalents quan, tenint numeradors diferents i denominadors diferents, el resultat del quocient és el mateix.

Si volem obtenir fraccions equivalents d'una fracció, només cal multiplicar o dividir el numerador i el denominador per la mateixa xifra. Per tant, podem dir que una fracció té un número infinit de fraccions equivalents.

Fraccions equivalents

Exercici 5. Calcula fraccions equivalents per a les següents fraccions:

• 30/15

• 8/2

• 4/2

• 4/7

• 10/15

Possibles solucions:

• 30/15: 6/3, 10/5

• 8/2: 16/4, 4/1

• 4/2: 16/8, 8/4

• 4/7: 8/14, 12/21

• 10/15: 2/3, 20/30

 

Producte creuat

El càllcul del producte creuat és una eina per comprovar la equivalència de dues fraccions. Consisteix a multiplicar el numerador de la primera fracció pel denominador de la segona, i el denominador de la primera pel numerador de l'altra fracció. Si els resultats són iguals, ambues fraccions són equivalents.

Producte creuat i equivalència

Equivalència, vusualment

Exercici 6. Comprova si els següents parells de fraccions són equivalents:

• 2/3 i 6/5

• 1/2 i 4/8

• 3/9 i 1/3

• 5/2 i 20/8

• 4/2 i 4/5

Solució:

• 2/3 i 6/5: No

• 1/2 i 4/8: Sí

• 3/9 i 1/3: Sí

• 5/2 i 20/8: Sí

• 4/2 i 4/5: No

 

Simplificació de fraccions i fracció irreductible

De vegades, hem de treballar amb fraccions que tenen un numerador i un denominador molt grans. Tot i això, en molts casos podem trobar una fracció equivalent més senzilla amb la que siga més fàcil operar. Aquesta recerca és el que es diu simplificació de fraccions.

Simplificació de fraccions

La simplificació de fraccions es realitza mitjançant la divisió del numerador i del denominador per una mateixa xifra, ja que volem fer més xicotets els dos elements numérics de la fracció. El nombre que utilitzarem ha de ser un divisor comú del numerador i del denominador, i, com que aquests han de ser quant més xicotets millor, cal emprar el major dels divisors comuns; és a dir, el màxim comú divisor (mcd).

Com simplificar una fracció

Simplificació de fraccions i fracció irreductible

Quan una fracció no podem simplificar-la ja més, diem que aquesta fracció és una fracció irreductible.

Exercici 7. Simplifica i troba la fracció irreductible de cadascuna de les següents fraccions:

• 3/6

• 5/10

• 5/25

• 25/125

• 168/112

Solució:

• 3/6 = 1/2

• 5/10 = 1/2

• 5/25 = 1/5

• 25/125 = 1/5

• 168/112 = 3/2

Fraccions i decimals

Com ja hem vist, les fraccions representen divisions. El resultat que s'obté de realitzar el càlcul de dividir numerador entre denominador pot ser:

• Menor que la unitat. Això ocorre quan el numerador és més xicotet que el denominador.

• Igual que la unitat. Això te lloc si el numerador i el denominador són iguals.

• Major que la unitat. Això ocorre quan el numerador és més gran que la unitat.

De vegades, el resultat d'una fracció és un nombre enter, però, d'altres, el resultat és un nombre decimal.

Convertir una fracció en un nombre decimal

Fraccions i decimals

Recordem que una fracció és una divisió en la qual el seu numerador és el dividend del quocient, mentre que el denominador funciona com el divisor. En resoldre-la, podem obtindre un resultat dels següents:

Convertir fraccions en decimals

• Un nombre natural.

• Un nombre amb xifres decimals de residu igual a 0.

• Un nombre amb xifres decimals periòdiques que mai no acaben i, per tant, el residi mai no serà 0.

Exercici 3. Converteix en decimals les següents fraccions:

• 1/2

• 3/4

• 75/3

• 66/10

• 100/6

Solució:

• 1/2 = 1:2 = 0,5

• 3/4 = 3:4 = 0,75

• 75/3 = 75:3 = 25,0 = 25

• 66/10 = 66:10 = 6,6

• 100/6 = 100:6 = 16,66666...

Convertir un nombre decimal en una fracció

Si allò que volem és fer el camí invers, és a dir, passar d'un nombre decimal a una fracció, cal que tinguem en  compte quin tipus de nombre tenim.

Convertir decimals en fraccions

D'una banda, podem convertir nombres naturals en fraccions d'una manera molt senzilla. Allò que hem de fer és prendre el nombre i utilitzar-lo com a numerador, posar-ne baix la ratlla i utilitzar la unitat com a denominador de la fracció.

D'altra, podem convertir en fracció un nombre decimal no periòdic. Per aconseguir-ho, escrivirem com a numerador la quantitat sense posar-hi la coma dels decimals. A continuació, escrivirem la ratlla de fracció i com a denominador la unitat seguida de tants zeros com decimals tenim en el nombre original. Això és possible perquè el residu es 0.

Exercici 4. Converteix en fraccions els següents nombres:

• 1,125

• 9,25

• 23,75

• 30

• 123

Solució:

• 1,125 = 1.125/100

• 9,25 = 925/100

• 23,75 = 2.375/100

• 30 = 305/10

• 123 =123/1

Introducció a les fraccions

 

La vida quotidiana

Pizza by russellstreet CC BY-SA 2.0

Habitualment, utilitzem les fraccions quasi sense adonar-nos. Quan diem que hem menjat una quarta part o un quart de pizza i hem begut mig litre d'aigua, o que el nostre autobús ens porta a casa en tres quarts d'hora, estem utilitzant valors numèrics en forma de fraccions en lloc dels nombres enters. Fins i tot, els usem quan estem treballant amb l'ordinador i diem que falta un 10% per finalitzar la descàrrega d'un document. És a dir, les fraccions estan a la nostra vida.

Exercici 0. Digues diferents casos a la teua vida on uses les fraccions:

Possibles solucions:

• Mitja hora
• Vint-i-cinc cèntims
• 15% de bateria del mòvil
• Dos llitres i mig de llet
• Tres quarts de quilo d'arròs
• Un terç de viatge

 

Concepte de fraccions i components

Les fraccions o nombres racionals (ℚ) són nombres expressats com un quocient o divisió. Els seus components són:

• Numerador: nombre que expressa les parts que prenem.

• Denominador: nombre que expressa en quantes parts es divideix la unitat.

• Ratlla: que separa el numerador i el denominador.

Parts d'una fracció

 

 

El nom de les fraccions

En primer lloc, es diuen les parts que prenem, és a dir, el numerador, que es diu com un nombre cardinal (un, dos, tres, quatre, etcètera) i en segon lloc, s'ha de dir el denominador de la següent forma depenent del cas:

• 1: com els enters

• 2: mitjos

• 3: terços

• 4: quarts

• 5: cinquens

• 6: sisens

• 7: setens

• 8: huitens

• 9: novens

• 10: dècims

• 11, 12, 13... es diran onzens, dotzens, tretzens...

• Les potències de 10 es diran acabades en "-èsims", com centèsims, mil·lèsims...

Exercici 1. Com es llegeixen aquestes fraccions?

• 1/2

• 3/4

• 5/10

• 4/13

• 1/17

• 15/23

• 8/30

• 11/100

• 2/1000

Solució:

• 1/2: un mig

• 3/4: tres quarts

• 5/10: cinc dècims

• 4/13: quatre tretzens

• 1/17: un desseté

• 15/23: quinze vint-i-tresens

• 8/30: huit trentèsims

• 11/100: onze centèsims

• 2/1000: dos mil·lèsims

 

 

Comparació de fraccions

Quan volem comparar fraccions, podem resodre el quocient que representen. Tot i això, si dos fraccions tenen el mateix denominador, serà major la que tinga major numerador. En cas que els numeradors siguen iguals, serà major la fracció amb menor denominador.

Comparació de fraccions

Exercici 2. Posa els símbols > o > segons corresponga:

• 5/2   5/3

• 2/4   4/4

• 1/10 1/5

• 2/10 5/10

Solució:

• 5/2  > 5/3

• 2/4  < 4/4

• 1/10 < 1/5

• 2/10 < 5/10